• Suites numeriques / généralités

    Par CHAVADRIEN dans 2 AS M-S-MT / Cours et exercices le 28 Janvier 2016 à 21:55

    1. CALCUL DE UN

    Théorème :
    Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a :
    un = u0 + nr et un = up + (n - p) r.

    Démonstration :
    (un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tout entier naturel n, on a :
    un = un-1 + r
    un-1 = un-2 + r
    ...
    u2 = u1 + r
    u1 = u0 + r
    En additionnant ces n égalités membre à membre, on obtient :
    un + un-1 + ... + u2 + u1 = un-1 + r + un-2 + r + ... + u1 + r+ + u0 + r
    soit : un = u0 + nr

    (un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tous entiers naturels n et p, on a :
    un = u0 + nr et up = u0 + pr
    En soustrayant ces deux égalités, on obtient : un - up = u0 + nr - u0 - pr
    soit : un = up + (n - p)r

    Remarques :
    La première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde.
    Si un = an + b, alors (un) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 = b.


    2. SOMME DES N PREMIERS TERMES

    Cas particulier :
    La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à \dfrac{n(n + 1)}{2}

    Démonstration :
    Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls, S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n.
    Sur une première ligne, écrivons la somme dans l'ordre croissant, puis sur une deuxième ligne, la somme dans l'ordre décroissant :
    \begin{array}{ccccccccccccc} S = 1&+&2&+&3&+&...&+&(n - 2)& + &(n - 1)& + &n\\ S = n& + & (n - 1) & + & (n - 2) & + & ... & + & 3 & + & 2 & + & 1\end{array}
    En sommant ces deux égalités, on obtient :
    2S = (1 + n) + (2 + n - 1) + (3 + n - 2) + ... + (n - 2 + 3) + (n - 1 + 2) + (n + 1)
    soit 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
    donc : 2S = n(n + 1)
    D'où : S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}
    Théorème :
    Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0,
    alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = n \dfrac{u_0 + u_{n-1}}{2} = n \dfrac{2u_0 + r(n - 1)}{2}
    S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un). Elle est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes.

    Démonstration :
    Les n premiers termes de la suite arithmétique (un) sont u0; u1 = u0 + r; u2 = u0 + 2r; ...; un-3 = u0 + (n - 3)r; un-2 = u0 + (n - 2)r et un-1 = u0 + (n - 1)r. Donc :
    S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
    S = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + ... + (u0 + (n - 3)r) + (u0 + (n - 2)r) + (u0 + (n - 1)r)
    S = nu0 + r + 2r + ... + (n - 3)r + (n - 2)r + (n - 1)r
    S = nu0 + r[1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)]
    Or, on a vu que 1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1) = \dfrac{(\text{n} - 1)\text{n}}{2}. Donc :
    S = \text{n}u_0 + \dfrac{r(\text{n} - 1)\text{n}}{2}\\ S = \text{n} \dfrac{2u_0 + r(\text{n} - 1)}{2}\\ S = \text{n}\dfrac{u_0 + u_{\text{n} - 1}}{2}

     SUITES GÉOMÉTRIQUES

    1. DÉFINITION

    Définition :
    Une suite (un) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q un.
    q est appelé raison de la suite.

    2. CALCUL DE UN

      Théorème:
    Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et p :
    un = u0 qn et un = up qn-p

    Démonstration :

    Remarques :
    la première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde;
    si un = b an, alors (un) est une suite géométrique de raison a et de premier terme u0 = b.


    3. SOMME DES N PREMIERS TERMES

    Cas particulier :
    La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme 1 est égale à 1 + q + ... + q^{n-1} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

    Démonstration :
    Soit S la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1), S = 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2+ qn-1.
    Donc : qS = q + q² + q3 + ... + qn-2 + qn-1 + qn
    Donc : qS = S - 1 + qn
    Donc : (1 - q)S = 1 - qn
    Or, q \neq 1, donc 1 - q \neq 0.
    Donc : S = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
    Théorème :
    Si (un) est une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme u0,
    alors alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
    S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un).

    Démonstration :
    Les n premiers termes de la suite géométrique (un) sont u0; u1 = qu0; u2 = q²u0; ...; un-3 = qn-3u0; un-2 = n-2u0 et un-1 = n-1u0. Donc :
    S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
    S = u0 + qu0 + q²u0 + ... + qn-3u0 + qn-2u0 + qn-1u0
    S = u0(1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1)
    Or, on a vu que 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1 = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}. Donc :
    S = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

    Remarque : Dans le cas où q = 1, la suite géométrique (un) est constante : elle est toujours égale à u0.
    On a alors : S = u0 + u1 + ... + un-2 + un-1 = n u0

     COMPORTEMENT À L'INFINI

    1. CONVERGENCE VERS L

    Les suites de terme général \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n^2}, \dfrac{1}{n^3}, \dfrac{1}{\sqrt{n}}, an avec -1 < a < 1,
    convergent vers 0 et on note alors : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0.


    Théorème de comparaison 5 :
    Si, à partir d'un certain rang, |u_n - l| \le v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = 0,
    alors (un) converge vers l et on note : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = l.


    Théorème 6 :
    Si, à partir d'un certain rang, u_n \le v_n \le w_n et si :
    \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = \lim_{n\to+\infty}w_n = l,
    alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = l.


    Remarques :
    Les deux inégalités sont indispensables pour conclure.
    Si (un) et (wn) convergent vers des réels distincts, on ne peut rien dire pour (vn).


    2. DIVERGENCE VERS L'INFINI

    Les suites de terme général n, n², n3, \sqrt{\text{n}}, an avec a>1, divergent vers +\infty et on note :
    \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty
    Une suite (un) diverge vers -\infty si la suite (-un) diverge vers +\infty et on note alors :
    \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty


    Théorème de comparaison 7 :
    Si, à partir d'un certain rang, u_n \ge v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = +\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty.
    Si, à partir d'un certain rang, u_n \le v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = -\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty.


    Remarque :
    Il existe des suites qui divergent, sans avoir de limite infinie, par exemple :un = (-1)n.


    3. OPÉRATIONS

    Les règles opératoires sur les limites de suites (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les limites en +\infty d'une fonction.
     
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