Arithmétique de Peano

  En 1889, le mathématicien italien Peano répertoria les propriétés structurelles de l'ensemble des entiers naturels N, afin d'en donner une construction axiomatique. Les notions de départ de l'arithmétique de Peano sont le zéro et le successeur, à partir desquels Peano reconstruit toutes les propriétés de N. De manière informelle, les 5 axiomes de Peano pour définir N sont :

1. 0 est un entier naturel.
2. Tout entier naturel a possède un successeur, noté S(a).
3. Il n'existe pas d'entier naturel dont le successeur est 0.
4. Des nombres entiers distincts ont des successeurs distincts.
5. Si une propriété est vérifiée par 0 et si, pour tout entier naturel a qui la vérifie, S(a) la vérifie également, alors la propriété est vraie pour tous les entiers naturels.

Ce dernier axiome assure notamment le fait que l'on puisse faire des raisonnements par récurrence. L'addition et la multiplication sont alors définies par récurrence :

• Pour l'addition, a+0=a, et a+S(b)=S(a+b).
• Pour la multiplication, a×0=0, et a×S(b)=a×b+a.

Ainsi, si l'on écrit de façon formelle les axiomes, on obtient l'écriture suivante :

• Pour tout x, ( non( S(x) = 0 ) )
• Pour tout x, pour tout y, ( ( s(x) = s(y) ) => ( x = y ) )
• Pour tout x, x + 0 = x
• Pour tout x, pour tout y, ( x + s(y) = s(x+y) )
• Pour tout x, x * 0 = 0
• Pour tout x, pour tout y, ( x * s(y) = ( x* y ) + x )

Le besoin d'introduire une axiomatisation des entiers naturels correspond à un courant très fort dans les mathématiques de la fin du XIXè siècle. Sous l'impulsion de Frege, Russell, Hilbert, la logique doit venir au fondement des mathématiques.

C’est après une rude bagarre et un coup à la tête que Jason Padgett est devenu un génie des mathématiques 

© Jason Padgett/facebook   © Jason Padgett/Wikimedia Commons  

À la sortie d’un bar, Jason Padgett a été brutalement attaqué. Il s’est retrouvé à l’hôpital avec une grave commotion cérébrale et une perception de la vie complètement changée. La géométrie est devenue son alliée et tout ce qu’il entreprenait dans la vie tournait autour ! Ce vendeur de meubles avant l’accident est devenu un génie des mathématiques en étant capable de résoudre des concepts physiques et en ayant acquis une visualisation des objets par la voie mathématique ! 

D’après les scientifiques, il a été touché par le rarissime syndrome du savant suite à l’attaque qu’il a subie. 

 George Dantzig est entré dans l’histoire des mathématiques par accident 

© Stanford   © Pixabay  

Alors qu’il était étudiant en Doctorat à l’Université de Californie, George Dantzig est arrivé en retard un matin, à son cours de statistiques. En entrant dans la classe, il n’y avait plus personne, mais 2 théorèmes statistiques étaient notés au tableau. Il a cru qu’il s’agissait d’un devoir et les a recopiés. Il a travaillé dessus pendant des heures, pour enfin arriver à une solution. Sauf qu’il ne savait pas qu’ils étaient insolubles. Ces deux théorèmes sont devenus une partie de sa thèse par la suite.