Histoire des fractions

En Mésopotamie

Vers 3000 avant J.C., dans la région de Sumer apparaissent les premières représentations de fractions pour des cas particuliers : 1/120 ;1/60 ;1/30 ;1/10 ; 1/5.

Au début du IIème millénaire avant J.C., les babyloniens utilisent une écriture, dite cunéiforme, qui permet de représenter des grands nombres mais également des cas particuliers de fractions. Le système de numération est sexagésimal (base 60) et combine le principe additif et le principe de position.
Dans cette écriture, les fractions se représentent avec des dénominateurs de 60 ou 3600 (60²).
Les nombreux diviseurs de 60 permettent de représenter facilement les fractions 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/12, 1/15, 1/20 ou 1/30.

Dans l’écriture babylonienne, il n'existe que deux symboles : le "clou vertical" et le "chevron". Les neuf premiers chiffres se représentent par répétitions de clous verticaux. 10 est représenté par le chevron. Pour écrire les nombres de 11 à 59, on répète les symboles autant de fois que nécessaire. Le nombre 60 se représente à nouveau par le clou. Cette règle s’applique pour les entiers comme pour les numérateurs de fractions.

Le système de numération babylonien, parfois ambiguë (voir exemple ci-dessous), n’empêche pas les astronomes d’effectuer des calculs sophistiqués lorsque plusieurs interprétations sont possibles. Le contexte leurs permet en général d’évaluer un ordre de grandeur du nombre et d’éviter ainsi la confusion.

En Egypte

Au IIIème millénaire avant J.C., en Egypte, les scribes écrivent les nombres sur des papyrus sous forme de hiéroglyphes. Les égyptiens utilisent un système de numération (reposant sur le principe additif). Ils représentent les fractions de type 1/n (fractions unitaires) en plaçant le symbole de bouche au dessus du dénominateur.

Seules certaines fractions disposent de symboles spécifiques. Il s’agit de 1/2, 1/3, 2/3 et 1/4 :

Toutes les fractions sont ainsi exprimées comme somme de fractions unitaires. On peut expliquer ce choix par soucis de grande précision.
Par ailleurs, la décomposition n’est pas nécessairement la plus simple possible car elle doit se faire avec des fractions différentes. On privilégiera par exemple 3/5 = 1/10 + 1/2 devant 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5.
Dans leur système d’écriture, la duplication (multiplication par 2) joue alors un rôle essentiel. Les égyptiens disposent d’ailleurs de tables de décomposition du double d’une fraction donnée.
Dans le langage d’aujourd’hui, 2/7 se décomposerait ainsi :
2/7 = 1/7 + 1/7
= 1/14 + 1/14 + 1/7
= 1/28 + 1/28 + 1/14 + 1/7
= 1/28 + (1/28 + 1/14 + 1/7)
= 1/28 + 1/4
La dernière réduction s’obtient à l’aide d’une table de décomposition.
Le célèbre papyrus Rhind s’ouvre sur une table de ce type. On y trouve des décompositions de fractions de type 2/n (n impair) en fractions unitaires.

A propos des fractions égyptiennes, il existe un épisode sanglant de la mythologie : Seth, le dieu de la violence et incarnation du mal, arrache l’œil à Horus, dieu à tête de faucon et à corps d’homme. Cet œil qui est appelé Oudjat, Seth le partage en six morceaux et les repend à travers l’Egypte. Thot, le dieu magicien à tête d’ibis reconstitue l’œil, symbole du bien contre le mal. Chacune de ses parties symbolise une fraction de numérateur 1 et de dénominateurs 2, 4, 8, 16, 32 et 64 (voir représentation sur l’image). Mais la somme de ces parts n’est pas égale à 1 (l’œil entier). Thot accordera le 64ème manquant à tout scribe recherchant et acceptant sa protection.

En Grèce

Au Vème siècle avant J.C., les grecs possèdent un système de numération alphabétique et apportent des progrès non négligeables à l’écriture fractionnaire des nombres. Pour eux, un nombre est nécessairement associé à une grandeur géométrique. Leur conception de nombre rationnel s’accorde ainsi à un rapport de longueurs. Bien que leurs notations soient un peu lourdes, les grecs effectuent des calculs fractionnaires compliqués.
Certaines fractions unitaires sont notées par le symbole correspondant au nombre du dénominateur muni d’un ou deux accents.
Par exemple, 1/3 se note : γ’.
D’autres fractions se notent par le numérateur marqué d’un accent suivi du dénominateur marqué de deux accents. D'autres encore possèdent un nom qu'il leurs est propre.