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Etude globale d'une suite
Les suites
Etude globale d'une suite
ADéfinition
Suite numérique
Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ.
La fonction définie pour tout entier naturel n par u(n)=2n+1 est une suite.- Pour désigner la suite u, on peut écrire (un).
- L'écriture un désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u(n).
Modes de génération d'une suite
Il existe trois façons de définir une suite.
1. Définition explicite
La suite (un) est définie directement par son terme général :un=f(n)
où f est une fonction au moins définie sur ℕ
2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur ℝ et un réel a, une suite (un) peut être définie par récurrence par :- u0=a
- pour tout entier n : un+1=f(un)
3. Définition implicite
La suite (un) est définie par une propriété géométrique, économique... au sein d'un problème.BLe sens de variation
Suite croissante
La suite (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1≥un
Considérons la suite (un) définie par récurrence par :
- u0=12
- un+1=(un)2+un pour tout entier n
On a, pour tout entier naturel n :
un+1−un=(un)2.
Or :
(un)2≥0
Donc, pour tout entier naturel n, on a :
un+1−un≥0
Ainsi, pour tout entier naturel n :
un+1≥un
Donc la suite (un) est croissante.
Suite strictement croissante
La suite (un) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1>un
Suite décroissante
La suite (un) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1≤un
Considérons la suite définie pour tout entier n par :
un=1n
Pour tout entier naturel n non nul, on a :
un+1−un=1n+1 −1n =n−(n+1)n(n+1) =−1n(n+1)
Or, pour tout entier naturel n non nul, on a :
−1n(n+1) <0
Donc, pour tout entier naturel n non nul :
un+1−un≤0
Et ainsi, pour tout entier naturel n non nul :
un+1≤un
Par conséquent la suite (un) est décroissante.
Suite strictement décroissante
La suite (un) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1<un
Suite constante
La suite (un) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1=un
Suite monotone
La suite (un) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).
IILes suites particulières
ALes suites arithmétiques
Suites arithmétiques
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n où elle est définie :
un+1=un+r
On considère la suite définie par :
- u0=1
- un+1=un−2, pour tout entier n
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.
Cette suite est ainsi arithmétique.
Raison
Le réel r est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.
Terme général d'une suite arithmétique
Soit (un) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p.
Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :un=up+(n−p)r
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
un=u0+nr
On considère la suite arithmétique u de raison r=−2 et de premier terme u0=3.
On a alors, pour tout entier naturel n : un=3−2n
Somme des termes d'une suite arithmétique
Soit (un) une suite arithmétique.
La somme de termes consécutifs de cette suite est égale à la demi-somme du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. En particulier :u0+u1+u2+...+un=(n+1)(u0+un)2
Soit (un) une suite arithmétique raison r=8 et de premier terme u0=16.
Son terme général est donc un=16+8n.
On souhaite calculer la somme suivante :
S=u0+u1+u2+⋅⋅⋅+u25
D'après la formule, on a :
S=(25+1)(u0+u25)2
Soit :
S=26×(16+16+8×25)2 =3 016
En particulier, pour tout entier naturel non nul n :1+2+3+...+n=n(n+1)2
1+2+3+⋅⋅⋅+15=15×(15+1)2 =120
BLes suites géométriques
Suite géométrique
Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n où elle est définie :
un+1=un×q
On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et par, pour tout entier naturel n :
un+1=3un
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.
Cette suite est ainsi géométrique.
Raison
Le réel q est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.
Terme général d'une suite géométrique
Soit (un) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p.
Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :un=up×qn−p
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
un=u0×qn
On considère une suite u géométrique de raison q=2 et de premier terme u0=3.
On a alors, pour tout entier naturel n : un=3×2n
Somme des termes d'une suite géométrique
Soit (un) une suite géométrique de raison q≠1, définie pour tout entier naturel n :
u0+u1+u2+...+un=u01−qn+11−q
Plus généralement, pour tout entier naturel p<n :
up+up+1+up+2+...+un=up1−qn−p+11−q
Soit (un) une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u0=4.
On souhaite calculer la somme suivante :
S=u0+u1+u2+⋅⋅⋅+u25
D'après la formule, on sait que :
S=u0×1−q25+11−q
Ainsi :
S=4×1−5261−5 =526−1
En particulier, pour tout réel q différent de 1 et tout entier naturel non nul n :
1+q+q2+...+qn=1−qn+11−q
1+3+32+33+⋅⋅⋅+352=1−3521−3 =−12 +12 ×352
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Commentaires
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