• Etude globale d'une suite

    Les suites

    Etude globale d'une suite

    A

    Définition

    Suite numérique

    Une suite numérique est une fonction de   dans  .

    La fonction définie pour tout entier naturel  n par  u(n)=2n+1 est une suite.
     
    • Pour désigner la suite  u, on peut écrire  (un).
    • L'écriture  un désigne en revanche le terme de rang  n de la suite  u, c'est-à-dire  u(n).
     

    Modes de génération d'une suite

    Il existe trois façons de définir une suite.

    1. Définition explicite
    La suite  (un) est définie directement par son terme général :

     un=f(n)

    f est une fonction au moins définie sur  

    2. Définition par récurrence
    Soient  f une fonction définie sur   et un réel  a, une suite  (un) peut être définie par récurrence par :

    •  u0=a
    • pour tout entier n :  un+1=f(un)

    3. Définition implicite
    La suite  (un) est définie par une propriété géométrique, économique... au sein d'un problème.

     
     
    B

    Le sens de variation

    Suite croissante

    La suite  (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1un

    Considérons la suite  (un) définie par récurrence par :

    •  u0=12
    •  un+1=(un)2+un pour tout entier n

    On a, pour tout entier naturel n :

     un+1un=(un)2.

    Or :

     (un)20

    Donc, pour tout entier naturel n, on a :

     un+1un0

    Ainsi, pour tout entier naturel n :

     un+1un

    Donc la suite  (un) est croissante.

     

    Suite strictement croissante

    La suite  (un) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1>un

     

    Suite décroissante

    La suite  (un) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1un

    Considérons la suite définie pour tout entier n par :

     un=1n 

    Pour tout entier naturel n non nul, on a :

     un+1un=1n+1 1n =n(n+1)n(n+1) =1n(n+1) 

    Or, pour tout entier naturel n non nul, on a :

     1n(n+1) <0

    Donc, pour tout entier naturel n non nul :

     un+1un0

    Et ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

     un+1un

    Par conséquent la suite  (un) est décroissante.

     

    Suite strictement décroissante

    La suite  (un) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1<un

     

    Suite constante

    La suite  (un) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1=un

     

    Suite monotone

    La suite  (un) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).

     
     
     
    II

    Les suites particulières

    A

    Les suites arithmétiques

    Suites arithmétiques

    Une suite  (un) est arithmétique s'il existe un réel  r tel que, pour tout entier  n où elle est définie :

     un+1=un+r

    On considère la suite définie par :

    •  u0=1
    •  un+1=un2, pour tout entier n

    On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

    Cette suite est ainsi arithmétique.

     

    Raison

    Le réel  r est appelé raison de la suite.

    Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

     

    Terme général d'une suite arithmétique

    Soit  (un) une suite arithmétique de raison  r, définie à partir du rang  p.
    Pour tout entier  n supérieur ou égal à  p, son terme général est égal à :

     un=up+(np)r

    En particulier, si  (un) est définie dès le rang 0 :

     un=u0+nr

    On considère la suite arithmétique u de raison  r=2 et de premier terme  u0=3.

    On a alors, pour tout entier naturel n :  un=32n

     

    Somme des termes d'une suite arithmétique

    Soit  (un) une suite arithmétique.
    La somme de termes consécutifs de cette suite est égale à la demi-somme du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. En particulier :

     u0+u1+u2+...+un=(n+1)(u0+un)2 

    Soit  (un) une suite arithmétique raison  r=8 et de premier terme  u0=16.

    Son terme général est donc  un=16+8n.

    On souhaite calculer la somme suivante :

     S=u0+u1+u2++u25

    D'après la formule, on a :

     S=(25+1)(u0+u25)2 

    Soit :

     S=26×(16+16+8×25)2 =3 016

     
    En particulier, pour tout entier naturel non nul  n :

     

     1+2+3+...+n=n(n+1)2 

     1+2+3++15=15×(15+1)2 =120

     
     
    B

    Les suites géométriques

    Suite géométrique

    Une suite  (un) est géométrique s'il existe un réel  q tel que, pour tout entier  n où elle est définie :

     un+1=un×q

    On considère la suite définie par son premier terme  u0=1 et par, pour tout entier naturel n :

     un+1=3un

    On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

    Cette suite est ainsi géométrique.

     

    Raison

    Le réel  q est appelé raison de la suite.

    Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

     

    Terme général d'une suite géométrique

    Soit  (un) une suite géométrique de raison  q, définie à partir du rang  p.
    Pour tout entier  n supérieur ou égal à  p, son terme général est égal à :

     un=up×qnp

    En particulier, si  (un) est définie dès le rang 0 :

     un=u0×qn

    On considère une suite u géométrique de raison  q=2 et de premier terme  u0=3.

    On a alors, pour tout entier naturel n :  un=3×2n

     

    Somme des termes d'une suite géométrique

    Soit  (un) une suite géométrique de raison  q1, définie pour tout entier naturel  n :

     u0+u1+u2+...+un=u01qn+11q 

    Plus généralement, pour tout entier naturel  p<n :

     up+up+1+up+2+...+un=up1qnp+11q 

    Soit  (un) une suite géométrique de raison  q=5 et de premier terme  u0=4.

    On souhaite calculer la somme suivante :

     S=u0+u1+u2++u25

    D'après la formule, on sait que :

     S=u0×1q25+11q 

    Ainsi :

     S=4×152615 =5261

     

    En particulier, pour tout réel  q différent de 1 et tout entier naturel non nul  n :

     1+q+q2+...+qn=1qn+11q 

     1+3+32+33++352=135213 =12 +12 ×352

     

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