Histoire des nombres négatifs

La longue saison hivernale et ses températures « basses » initient très jeunes les enfants au concept de quantités négatives. Autant la notion de nombre décimal les trouble qu’ils assimilent naturellement celle de nombre négatif. Le thermomètre offre de surcroît un axe gradué opportun entraînant l’esprit au rangement ordonné de ces nombres. Bien qu’on ne les trouve pas dans la nature, ils font aujourd’hui partie intégrante de notre environnement et nous ne sommes pas étonnés de les considérer comme des nombres à part entière. Pourtant leur introduction dans le langage des mathématiques fut lente et mainte fois remise en cause. Ils naissent des besoins de la comptabilité (calculs de gains et de dettes). Il semblerait que les premiers à avoir utilisé des quantités négatives soient les chinois. Nous sommes au deuxième siècle avant J.C. et nous ne parlons pas encore de « nombre » car ils n’en ont pas acquis le statut !

Le « Jiuzhang suanshu » ou les « Neuf chapitres sur l’art du calcul » est un ouvrage chinois datant de 200 avant JC et composé de 246 problèmes ayant pour but de fournir des méthodes pour résoudre les problèmes quotidiens de l'ingénierie, de l'arpentage, du commerce et de la fiscalité. Les calculs s'effectuent en utilisant des baquettes à calculer, les positifs sont représentés par des baguettes rouges, les négatifs pas des baguettes noires. Liu Hui (220 ; 280) explique et enseigne l’arithmétique liée à ses baguettes de calcul. Les « Neuf chapitres » contiennent certains problèmes équivalant dans le langage d'aujourd'hui à des système d'équations linéaires à plusieurs inconnues. Les nombres négatifs y sont utilisés dans la résolution par combinaison de lignes proche de la méthode actuelle de Gauss. Liu Hui Mais c’est le plus souvent au mathématicien indien Brahmagupta (598 ; 660) que l’on attribue la découverte des «nombres» négatifs. Sans justification, il donne des règles de calcul permettant d’expliciter des débits dans les comptes. « Une dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du néant devient une dette. » Dans sa théorie de résolution des équations (muadala), le perse Mohammed al Khwarizmi (780 ; 850) accepte les termes négatifs dans les équations mais s’attache à s’en débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. Pour lui, une équation ne peut avoir de solution négative. C’est aussi par la résolution d’équations que les quantités négatives feront leur entrée en occident. Le français Nicolas Chuquet (1445 ; 1500) est un des premiers à isoler une valeur négative dans un membre d’une équation. On les retrouve également dans les travaux du mathématicien italien Gerolamo Cardano (1501 ; 1576), au nom francisé de Jérôme Cardan. En 1629 dans "Invention nouvelle en algèbre", Albert Girard s’en inspire pour admettre l’existence de racines négatives ou imaginaires dans une équation. L’introduction des quantités négatives en occident est cependant difficile et connaît en prime l’obstacle du zéro. De nombreux mathématiciens de l’époque distinguent difficilement le zéro relatif du zéro absolu en dessous duquel rien n’existe. Tel est le cas du mathématicien et ingénieur Lazare Carnot (1753 ; 1823) : « Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ? » « L’usage des nombres négatifs conduit à des conclusions erronées. » "Géométrie de la position", 1803. Lazare Carnot Maison natale de Carnot à Nolay En 1591, François Viète (1540 ; 1603) publie "In artem ananyticam isagoge" dans lequel il pose les bases du calcul littéral. A cette époque encore, les lettres ne représentent que des quantités positives et les solutions négatives des équations sont écartées. En 1637 dans "La géométrie", René Descartes (1596 ; 1650) qualifie de "moindres que rien" de telles solutions : « En chaque équation autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines : mais souvent il arrive que ces racines soient fausses ou moindres que rien. » En géométrie analytique, Descartes place ses axes de façon qu’il n’ait pas à faire intervenir de coordonnées négatives. Il faudra attendre l’écossais Colin Maclaurin (1698 ; 1746) puis le suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) pour voir apparaître des axes aux coordonnées positives et négatives. Colin Maclaurin C’est ce même Maclaurin qui exprime en 1742 dans son "Traité des Fluxions" ce doute planant encore sur l’adhésion par les mathématiciens pour les quantités négatives : « L’usage du signe négatif en algèbre donne lieu à plusieurs conséquences qu’on a d’abord peine à admettre et ont donné l’occasion à des idées qui paraissent n’avoir aucun fondement réel. » Il faut dire qu’à cette époque les besoins pour les sciences des quantités négatives sont plutôt rares. En 1741, le physicien suédois Anders Celsius (1701 ; 1744) fait construire un thermomètre à mercure dont le 0 est définit par le point de congélation de l’eau et le 100 son point d’ébullition. Il faudra pourtant attendre le début du XIX ème siècle pour que les températures négatives rentrent dans les mœurs. Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 ; 1736) conçoit en 1715 un thermomètre pourvu d’une graduation évitant les températures négatives. Progressivement, les négatifs sont soumis à des règles de calcul en prolongeant celles existant pour les nombres positifs. En 1746 dans "Eléments d’algèbre", le mathématicien et astronome français Alexis Clairaut (1713 ; 1765) donne quelques-unes de ces règles et exprime la nuance entre le signe d’un nombre et celui de l’opération : « On demandera peut-être si on peut ajouter du négatif avec du positif, ou plutôt si on peut dire qu’on ajoute du négatif. A quoi je réponds que cette expression est exacte quand on ne confond point ajouter avec augmenter. Que deux personnes par exemple joignent leurs fortunes, quelles qu’elles soient, je dirai que c’est là ajouter leurs biens, que l’un ait des dettes et des effets réels, si les dettes surpassent les effets, il ne possédera que du négatif, et la jonction de la fortune à celle du premier diminuera le bien de celui-ci, en sorte que la somme se trouvera, ou moindre que ce que possédait le premier, ou même entièrement négative. » Au début du XIXème siècle encore, les négatifs n’ont pas acquis le statut de « nombre ». Un nombre est nécessairement positif. Une quantité, telle une dette, peut prendre une valeur négative en la définissant par opposition à une quantité positive. Mais cette quantité n’est pas considérée comme un nombre en tant que tel. En 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) dans son "Cours d’analyse de l’Ecole royale polytechnique" définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe + ou -. « Le signe + ou – placé devant un nombre en modifiera la signification, à-peu-près comme un adjectif modifie celle du substantif. » Augustin Louis Cauchy Avec le développement des nombres complexes dans l’univers des mathématiques, l’allemand Hermann Hankel (1839 ; 1873) donne enfin aux nombres et en particulier aux nombres relatifs le statut d’objet formel obéissant à des règles préétablies.