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    DEVOIR / SUITES ET DERIVEES

     

    DEVOIR / SUITES ET DERIVEES / JANV 16

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    DEVOIR/ FONCTIONS / JANV 16+Correction

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  • Les suites

    Etude globale d'une suite

    A

    Définition

    Suite numérique

    Une suite numérique est une fonction de   dans  .

    La fonction définie pour tout entier naturel  n par  u(n)=2n+1 est une suite.
     
    • Pour désigner la suite  u, on peut écrire  (un).
    • L'écriture  un désigne en revanche le terme de rang  n de la suite  u, c'est-à-dire  u(n).
     

    Modes de génération d'une suite

    Il existe trois façons de définir une suite.

    1. Définition explicite
    La suite  (un) est définie directement par son terme général :

     un=f(n)

    f est une fonction au moins définie sur  

    2. Définition par récurrence
    Soient  f une fonction définie sur   et un réel  a, une suite  (un) peut être définie par récurrence par :

    •  u0=a
    • pour tout entier n :  un+1=f(un)

    3. Définition implicite
    La suite  (un) est définie par une propriété géométrique, économique... au sein d'un problème.

     
     
    B

    Le sens de variation

    Suite croissante

    La suite  (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1un

    Considérons la suite  (un) définie par récurrence par :

    •  u0=12
    •  un+1=(un)2+un pour tout entier n

    On a, pour tout entier naturel n :

     un+1un=(un)2.

    Or :

     (un)20

    Donc, pour tout entier naturel n, on a :

     un+1un0

    Ainsi, pour tout entier naturel n :

     un+1un

    Donc la suite  (un) est croissante.

     

    Suite strictement croissante

    La suite  (un) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1>un

     

    Suite décroissante

    La suite  (un) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1un

    Considérons la suite définie pour tout entier n par :

     un=1n 

    Pour tout entier naturel n non nul, on a :

     un+1un=1n+1 1n =n(n+1)n(n+1) =1n(n+1) 

    Or, pour tout entier naturel n non nul, on a :

     1n(n+1) <0

    Donc, pour tout entier naturel n non nul :

     un+1un0

    Et ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

     un+1un

    Par conséquent la suite  (un) est décroissante.

     

    Suite strictement décroissante

    La suite  (un) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1<un

     

    Suite constante

    La suite  (un) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel  n pour lequel  un est défini :

     un+1=un

     

    Suite monotone

    La suite  (un) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).

     
     
     
    II

    Les suites particulières

    A

    Les suites arithmétiques

    Suites arithmétiques

    Une suite  (un) est arithmétique s'il existe un réel  r tel que, pour tout entier  n où elle est définie :

     un+1=un+r

    On considère la suite définie par :

    •  u0=1
    •  un+1=un2, pour tout entier n

    On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

    Cette suite est ainsi arithmétique.

     

    Raison

    Le réel  r est appelé raison de la suite.

    Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

     

    Terme général d'une suite arithmétique

    Soit  (un) une suite arithmétique de raison  r, définie à partir du rang  p.
    Pour tout entier  n supérieur ou égal à  p, son terme général est égal à :

     un=up+(np)r

    En particulier, si  (un) est définie dès le rang 0 :

     un=u0+nr

    On considère la suite arithmétique u de raison  r=2 et de premier terme  u0=3.

    On a alors, pour tout entier naturel n :  un=32n

     

    Somme des termes d'une suite arithmétique

    Soit  (un) une suite arithmétique.
    La somme de termes consécutifs de cette suite est égale à la demi-somme du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. En particulier :

     u0+u1+u2+...+un=(n+1)(u0+un)2 

    Soit  (un) une suite arithmétique raison  r=8 et de premier terme  u0=16.

    Son terme général est donc  un=16+8n.

    On souhaite calculer la somme suivante :

     S=u0+u1+u2++u25

    D'après la formule, on a :

     S=(25+1)(u0+u25)2 

    Soit :

     S=26×(16+16+8×25)2 =3 016

     
    En particulier, pour tout entier naturel non nul  n :

     

     1+2+3+...+n=n(n+1)2 

     1+2+3++15=15×(15+1)2 =120

     
     
    B

    Les suites géométriques

    Suite géométrique

    Une suite  (un) est géométrique s'il existe un réel  q tel que, pour tout entier  n où elle est définie :

     un+1=un×q

    On considère la suite définie par son premier terme  u0=1 et par, pour tout entier naturel n :

     un+1=3un

    On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

    Cette suite est ainsi géométrique.

     

    Raison

    Le réel  q est appelé raison de la suite.

    Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

     

    Terme général d'une suite géométrique

    Soit  (un) une suite géométrique de raison  q, définie à partir du rang  p.
    Pour tout entier  n supérieur ou égal à  p, son terme général est égal à :

     un=up×qnp

    En particulier, si  (un) est définie dès le rang 0 :

     un=u0×qn

    On considère une suite u géométrique de raison  q=2 et de premier terme  u0=3.

    On a alors, pour tout entier naturel n :  un=3×2n

     

    Somme des termes d'une suite géométrique

    Soit  (un) une suite géométrique de raison  q1, définie pour tout entier naturel  n :

     u0+u1+u2+...+un=u01qn+11q 

    Plus généralement, pour tout entier naturel  p<n :

     up+up+1+up+2+...+un=up1qnp+11q 

    Soit  (un) une suite géométrique de raison  q=5 et de premier terme  u0=4.

    On souhaite calculer la somme suivante :

     S=u0+u1+u2++u25

    D'après la formule, on sait que :

     S=u0×1q25+11q 

    Ainsi :

     S=4×152615 =5261

     

    En particulier, pour tout réel  q différent de 1 et tout entier naturel non nul  n :

     1+q+q2+...+qn=1qn+11q 

     1+3+32+33++352=135213 =12 +12 ×352

     

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  • 1. CALCUL DE UN

    Théorème :
    Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a :
    un = u0 + nr et un = up + (n - p) r.

    Démonstration :
    (un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tout entier naturel n, on a :
    un = un-1 + r
    un-1 = un-2 + r
    ...
    u2 = u1 + r
    u1 = u0 + r
    En additionnant ces n égalités membre à membre, on obtient :
    un + un-1 + ... + u2 + u1 = un-1 + r + un-2 + r + ... + u1 + r+ + u0 + r
    soit : un = u0 + nr

    (un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tous entiers naturels n et p, on a :
    un = u0 + nr et up = u0 + pr
    En soustrayant ces deux égalités, on obtient : un - up = u0 + nr - u0 - pr
    soit : un = up + (n - p)r

    Remarques :
    La première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde.
    Si un = an + b, alors (un) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 = b.


    2. SOMME DES N PREMIERS TERMES

    Cas particulier :
    La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à \dfrac{n(n + 1)}{2}

    Démonstration :
    Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls, S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n.
    Sur une première ligne, écrivons la somme dans l'ordre croissant, puis sur une deuxième ligne, la somme dans l'ordre décroissant :
    \begin{array}{ccccccccccccc} S = 1&+&2&+&3&+&...&+&(n - 2)& + &(n - 1)& + &n\\ S = n& + & (n - 1) & + & (n - 2) & + & ... & + & 3 & + & 2 & + & 1\end{array}
    En sommant ces deux égalités, on obtient :
    2S = (1 + n) + (2 + n - 1) + (3 + n - 2) + ... + (n - 2 + 3) + (n - 1 + 2) + (n + 1)
    soit 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
    donc : 2S = n(n + 1)
    D'où : S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}
    Théorème :
    Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0,
    alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = n \dfrac{u_0 + u_{n-1}}{2} = n \dfrac{2u_0 + r(n - 1)}{2}
    S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un). Elle est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes.

    Démonstration :
    Les n premiers termes de la suite arithmétique (un) sont u0; u1 = u0 + r; u2 = u0 + 2r; ...; un-3 = u0 + (n - 3)r; un-2 = u0 + (n - 2)r et un-1 = u0 + (n - 1)r. Donc :
    S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
    S = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + ... + (u0 + (n - 3)r) + (u0 + (n - 2)r) + (u0 + (n - 1)r)
    S = nu0 + r + 2r + ... + (n - 3)r + (n - 2)r + (n - 1)r
    S = nu0 + r[1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)]
    Or, on a vu que 1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1) = \dfrac{(\text{n} - 1)\text{n}}{2}. Donc :
    S = \text{n}u_0 + \dfrac{r(\text{n} - 1)\text{n}}{2}\\ S = \text{n} \dfrac{2u_0 + r(\text{n} - 1)}{2}\\ S = \text{n}\dfrac{u_0 + u_{\text{n} - 1}}{2}

     SUITES GÉOMÉTRIQUES

    1. DÉFINITION

    Définition :
    Une suite (un) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q un.
    q est appelé raison de la suite.

    2. CALCUL DE UN

      Théorème:
    Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et p :
    un = u0 qn et un = up qn-p

    Démonstration :

    Remarques :
    la première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde;
    si un = b an, alors (un) est une suite géométrique de raison a et de premier terme u0 = b.


    3. SOMME DES N PREMIERS TERMES

    Cas particulier :
    La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme 1 est égale à 1 + q + ... + q^{n-1} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

    Démonstration :
    Soit S la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1), S = 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2+ qn-1.
    Donc : qS = q + q² + q3 + ... + qn-2 + qn-1 + qn
    Donc : qS = S - 1 + qn
    Donc : (1 - q)S = 1 - qn
    Or, q \neq 1, donc 1 - q \neq 0.
    Donc : S = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
    Théorème :
    Si (un) est une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme u0,
    alors alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
    S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un).

    Démonstration :
    Les n premiers termes de la suite géométrique (un) sont u0; u1 = qu0; u2 = q²u0; ...; un-3 = qn-3u0; un-2 = n-2u0 et un-1 = n-1u0. Donc :
    S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
    S = u0 + qu0 + q²u0 + ... + qn-3u0 + qn-2u0 + qn-1u0
    S = u0(1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1)
    Or, on a vu que 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1 = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}. Donc :
    S = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

    Remarque : Dans le cas où q = 1, la suite géométrique (un) est constante : elle est toujours égale à u0.
    On a alors : S = u0 + u1 + ... + un-2 + un-1 = n u0

     COMPORTEMENT À L'INFINI

    1. CONVERGENCE VERS L

    Les suites de terme général \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n^2}, \dfrac{1}{n^3}, \dfrac{1}{\sqrt{n}}, an avec -1 < a < 1,
    convergent vers 0 et on note alors : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0.


    Théorème de comparaison 5 :
    Si, à partir d'un certain rang, |u_n - l| \le v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = 0,
    alors (un) converge vers l et on note : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = l.


    Théorème 6 :
    Si, à partir d'un certain rang, u_n \le v_n \le w_n et si :
    \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = \lim_{n\to+\infty}w_n = l,
    alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = l.


    Remarques :
    Les deux inégalités sont indispensables pour conclure.
    Si (un) et (wn) convergent vers des réels distincts, on ne peut rien dire pour (vn).


    2. DIVERGENCE VERS L'INFINI

    Les suites de terme général n, n², n3, \sqrt{\text{n}}, an avec a>1, divergent vers +\infty et on note :
    \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty
    Une suite (un) diverge vers -\infty si la suite (-un) diverge vers +\infty et on note alors :
    \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty


    Théorème de comparaison 7 :
    Si, à partir d'un certain rang, u_n \ge v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = +\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty.
    Si, à partir d'un certain rang, u_n \le v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = -\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty.


    Remarque :
    Il existe des suites qui divergent, sans avoir de limite infinie, par exemple :un = (-1)n.


    3. OPÉRATIONS

    Les règles opératoires sur les limites de suites (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les limites en +\infty d'une fonction.
     
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  • Résistances au changement, enjeux sociopolitiques et poids de la tradition

    Pourquoi est-il si difficile de réformer les programmes scolaires ?

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    le 07.01.16  

     
 

     
        

    Les nouvelles idées de l’équipe du ministère de l’Education nationale se heurtent parfois au poids de la tradition et à des enjeux sociopolitiques à peine voilés. «J’ai été choqué de retrouver un ouvrage du ''socialiste'' Rachid Boudjedra dans la bibliothèque scolaire, sachant pertinemment ce que ce livre contient dans l’une de ses pages. Comment voulez-vous que l’école avance si l’on enseigne ces âneries à nos élèves ?

    Vouloir enseigner ces auteurs à nos élèves me fait penser qu’il est des fois où le remède est pire que le mal», disait, lors d’une rencontre consacrée à «La place de la littérature algérienne contemporaine à l’école» l’un des inspecteurs de langue arabe, les mains tremblantes de colère. Face à lui, les représentants du ministère serrent les dents. Il faut dire que depuis que la ministre de l’Education a pris les rênes du secteur, ils ont été confrontés à plusieurs formes de résistances. Farid Benramdane, conseiller de la ministre et éminent chercheur, voit derrière ces oppositions des enjeux sociopolitiques à peine voilés.

    Prenons l’exemple du texte argumentatif absent jusque-là des manuels de langue arabe : «Si je n’introduis pas le texte argumentatif de la première année à la terminale, explique M. Benramdane, c’est qu’il y a des enjeux cognitifs liés à la façon de réfléchir. La méthode traditionnelle dans laquelle l’argumentation n’a pas sa place s’accommode très bien avec l’ordre établi. Il ne faut pas se faire d’illusions. Le texte argumentatif est interdit dans certains pays car il s’agit du commerce de l’intelligence», tranche-t-il. Il y a, selon ses propos,  deux types d’approches, l’une traditionaliste basée sur le parcœurisme, et une autre porteuse de sophisticité dans ses objectifs et dans ses procédures.

    Le chercheur a identifié trois types de réactions. Il y a, d’abord, les réactions épi-didactitiques des principaux acteurs liés notamment au poids de la tradition. Ce sont, en gros, tous ceux qui proclament vouloir dispenser leurs cours comme l’ont fait leurs professeurs avant eux, rejetant en bloc toute nouvelle proposition. Farid Benramdane cite notamment des profs de langue arabe qui s’insurgent en entendant dire que la langue nationale est une matière à échec. «Quand, affirme-t-il, on discute avec ce genre d’enseignants, ils font un repli identitaire : la langue arabe avant tout !» disent-ils.

    Devant les statistiques réelles montrant que la langue arabe est une matière à échec, ils répondent : «Comment osez-vous dire cela de la langue officielle et celle du saint Coran ?» Les résultats des examens de langue arabe sont pourtant d’une clarté désespérante : Adrar, wilaya reconnue comme arabophone, a une moyenne ne dépassant pas les 4,87/10. «Comment une wilaya plutôt arabophone peut avoir une telle moyenne en langue arabe ?» s’interroge M. Benramdane. Force est de reconnaître cependant que les chiffres de la maîtrise de la langue de Molière à l’école ne sont guère plus réjouissants, même si les crispations sont moins présentes et que son enseignement puise plus facilement dans le domaine de la science du langage et de la cognition.

    Pour comprendre les raisons de la débâcle, il est nécessaire de se pencher sur la manière dont les programmes ont été élaborés ainsi que sur les méthodes d’enseignement utilisées. «Quel est le rapport entre les langues et les enjeux sociopolitiques ? Ma langue, selon Jacques Berque, ne sert pas seulement à dire, mais elle me sert à être. Il y a des enjeux sociopolitiques qui sous-tendent la manière d’enseigner. Quelle est la place de la langue arabe dans son statut de langue véhiculaire ? La langue arabe ne joue pas toute seule, en Algérie ou ailleurs. Comment se fait ce jeu concurrentiel ?» interroge M. Benramdane.

    Or, tout est fait pour que les choses restent en l’état. «Dans la ''Ataba'', glisse Farid Benramdane, le seuil des cours sur lesquels les questions des examens sont axés après de longues grèves des enseignants, on retire justement en philosophie, par hasard, le soufisme. Il y a des enjeux, il ne faut pas être naïf». Les programmes scolaires, tels qu’ils ont été mis en place, pourraient aussi expliquer le rejet - et parfois l’ennui - des élèves. «Les travaux de Hassan Remaoun, chercheur au Crasc,  l’ont prouvé : ce qu’il y a le moins dans les programmes d’histoire en Algérie, c’est l’histoire algérienne», lance le conseiller de la ministre.

    Il y a, en second lieu, «l’attitude instrumentaliste» de certains acteurs qui consiste à tenir un discours d’apparence moderniste, mais qui ne fait, dans le fond, que reproduire des pratiques anciennes. «C’est, explique-t-il, un comportement qu’on trouve aussi bien dans l’éducation que dans l’enseignement universitaire, une tendance qui veut se recycler sans se former. Elle est dangereuse parce qu’elle tient un discours d’apparence moderniste : on y parle d’approche par compétence, de cognitivisme, de socio-cognitivisme, de constructivisme. Mais, en réalité, ils reproduisent des pratiques anciennes. Ils n’opèrent pas une rupture épistémologique et méthodologique. Quand vous discutez avec eux, ils font un repli disciplinaire. Au-delà de leur spécialité, ils ne peuvent pas discuter.

    Ce sont, en gros, des inspecteurs de physique qui se prennent pour des Einstein et des profs de français se prenant pour Saussure. Ils n’arrivent pas à supposer qu’il peut y avoir un statut unitaire du savoir, un soubassement commun cognitif». Enfin, le département de l’éducation dit vouloir encourager une attitude plus empirique, ayant la conviction que l’université et l’école doivent former des cadres supérieurs ayant une fonction critique, éthique et scientifique, la capacité d’anticipation et l’excellence dans les langues quelles qu’elles soient.

    Amel Blidi
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    بن غبريت مطالبة بفتح تحقيق في “الفضيحة الثقيلة”

    موضوع في بكالوريا 2015 مسروق من تونس

     


     

    يعيش الديوان الوطني للامتحانات والمسابقات على وقع فضيحة سرقة موضوع امتحان بكالوريا الهندسة الميكانيكية
    من تونس، إذ جاء امتحان هذه المادة في دورة جوان 2015 نسخة طبق الأصل لموضوع امتحان بكالوريا نظمته تونس سنة 2008، الأمر الذي يعتبر سرقة أدبية يعاقب عليها القانون.
    بالرغم من قُرب الإعلان عن نتائج البكالوريا المقررة في غضون الأيام القليلة القادمة، إلا أن فضائح تنظيمها لا تزال تتلاحق، حيث كشف أمس مستار عبد القادر، أستاذ مكون مختص في مادة الهندسة الميكانيكية وعضو سابق في لجان تحضير مواضيع امتحانات البكالوريا، عن فضيحة أخرى شابت بكالوريا ديوان الامتحانات، إذ إن الموضوع الذي امتُحن فيه تلاميذ هذه المادة الأساسية (معامل 7) تم نقله حرفيا من موضوع امتحان بكالوريا تونس لسنة 2008، باعتبار أن القائمين على العملية اكتفوا بترجمة الموضوع من الفرنسية إلى العربية. 
    وحسب موضوعي الامتحان المكونين من 20 صفحة، وتحوز “الخبر” نسخا منهما، فإن المحتوى مطابق بين النسختين بما في ذلك النظام الآلي والنظام الميكانيكي، من خلال الرسوم المدونة في النسختين، فضلا عن تطابق الأسئلة والدراسة التكنولوجية والدراسة البيانية الجزئية والدراسة التعريفية، وتكنولوجيات وسائل وطرق الصنع، الأمر الذي اعتبره الأستاذ مستار أمرا غير مقبول، “باعتبار أن من الشروط الأساسية الواجب توفرها في موضوع امتحان شهادة البكالوريا أن يكون غير متداول وغير مسبوق”. 
    من جانبه طالب رئيس النقابة الوطنية لأساتذة التعليم الثانوي والتقني مزيان مريان أمس، وزارةَ التربية الوطنية بفتح تحقيق مستعجل لمعاقبة من كانوا وراء هذه الفضيحة، واصفا إياها “السرقة الأدبية التي تخدش سمعة بكالوريا الجزائر في الصميم”، معتبرا أن ما حدث “غير مقبول لا أخلاقيا ولا قانونيا، على غرار ما حدث سنة 2000
    عندما تم اكتشاف إقحام معطى في موضوع امتحان الرياضيات آنذاك يخص لوغاريتم 3، تسبب في اضطرابات للممتحنين بسبب استحالة استعماله أثناء الإجابة، ليثبت بعد فتح تحقيق أن المشرفين على تحضير الموضوع نقلوه من بكالوريا فرنسا دون التأكد من جدوى استعماله”.
    من جهته وجّه الأستاذ أوس محمد جُل انتقاداته إلى لجان تحضير مواضيع الامتحانات التي “أصبح اختيار أعضائها لا يعتمد على الكفاءة مثلما كان في وقت سابق”، مستغربا حدوث مثل هذا الأمر في الوقت الذي “تزخر المدرسة الجزائرية بكفاءات عالية تُغنيها عن تسول أو سرقة مواضيع الامتحانات من دول أخرى، فضلا عن تسخير السلطات العمومية لميزانية مالية ضخمة من أجل تنظيم امتحان بحجم شهادة البكالوريا دون أي اضطرابات أوقلاقل”.
    في حين شدد الأستاذ مستار على وجود مكتبة مواضيع محلية غنية، “بدليل أن المواضيع التي نستعملها أثناء التدريس أحسن بكثير من الموضوع المنسوخ من تونس”، مضيفا بأن من أهم الشروط الواجب توفرها في موضوع امتحان البكالوريا أن يكون غير مسبوق وذاتيا ويتسم بالإبداع، فضلا عن أن يكون واضحا وشاملا، ما يفوِّت أي فرصة غش، باعتبار أن التلاميذ بإمكانهم معرفة المواضيع المنشورة حتى لو كانت في بلدان أخرى عن طريق الإنترنت وتكنولوجيات الاتصال الحديثة.

     

    Le Figaro du 17/05/15

    Sévère baisse du niveau des collégiens en maths

    Selon une étude du ministère de l'Education, le pourcentage des élèves de très faible ou de faible niveau, incapables de résoudre en 3e un problème de CM2, est passé de 15% à 19,5% en six ans.

     
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    Les résultats sont «préoccupants», reconnaissent les responsables. Une étude du ministère de l'Education révèle, ce dimanche, un net recul des compétences des collégiens français en mathématiques. Chiffre phare du document,détaillé dans Le Parisien, le pourcentage des élèves de très faible ou de faible niveau, incapables de résoudre en 3e un problème de CM2, est passé de 15% à 19,5% en six ans. Soit un élève sur cinq.

    Les groupes de niveaux moyens restent à peu près stables. Mais autre point de déconvenue, celui des élèves de 3ème de bon niveau en maths perd près de 3 points (15,3% en 2014 contre 18,6% en 2008). Le groupe des «super-matheux» se maintient à 9,1%.

    L'évaluation nationale des collégiens par discipline du Cedres'appuie sur un échantillon représentatif d'environ 8 000 élèves de 3e, dans 323 collèges publics et privés sous contrat. Les adolescents ont été testés sur leur aptitude à résoudre des problèmes, sur leur connaissance des définitions, sur leur capacité à raisonner en algèbre et géométrie.

    «Ce qui baisse vraiment», analyse Catherine Moisan, directrice de la Deep (Direction de l'évaluation, de la prospective et de la performance du ministère de l'Education) dans les colonnes du Parisien, «c'est la maîtrise technique (les calculs décimaux, le début du calcul littéral...) dont on peut difficilement se passer dans la vie quotidienne». Et de constater: «L'écart social se creuse. Le collège sait bien faire réussir les bons élèves et les élèves favorisés». Les meilleurs scores des élèves ont été obtenus dans les collèges où l'indice social est le plus élevé, précise Le Parisien qui note que les résultats ont en revanche décliné dans les établissements moins favorisés par rapport à 2008.   

    Une nouvelle «stratégie» pour les maths

    Ce «bonnet d'âne» confirme l'étude internationale Pisa réalisée en 2012 dans 65 pays de l'OCDE. La France a ainsi accusé en neuf ans, entre 2003 et 2012, une baisse de 16 points. Et se place désormais en 25e position, loin derrière Shanghaï et la Corée, mais aussi la Finlande et l'Allemagne… En mars dernier, l'analyse des résultats de l'épreuve de maths du brevet des collègesappuyait également cette tendance à la baisse. Deux tiers des candidats ont obtenu moins de 10 sur 20 en 2014 (contre la moitié en 2013) et la moyenne s'établissait à 8,6/20.

    Face à cette dégradation constante des résultats, la ministre Najat Vallaud-Belkacem avait dévoilé en décembre «une stratégie mathématiques» Pour «donner le goût des maths aux élèves», elle entendait renforcer la place du jeu. «La dimension ludique» des mathématiques et le numérique «seront développés» pour «motiver davantage les élèves et encourager leur autonomie». Il est aussi prévu de «mieux accompagner et diffuser» les expérimentations pédagogiques. Les modalités d'évaluation des élèves seront «plus positives et formatrices». Les programmes de l'école et du collège, dont la réforme suscite de nombreuses interrogations et contestations, devront proposer «des situations en lien avec le quotidien, les métiers et les autres disciplines». Le calcul mental sera une priorité.

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